021-22889554
021-26703715
مشاوره آموزشی رایگان

021-22889554  |  021-26703715 مشاوره آموزشی رایگان

ریاضیات راز پنهان درک جهان است

Roger Antonsen

Math is the hidden secret to understanding the world

Unlock the mysteries and inner workings of the world through one of the most imaginative art forms ever -- mathematics -- with Roger Antonsen, as he explains how a slight change in perspective can reveal patterns, numbers and formulas as the gateways to empathy and understanding.


تگ های مرتبط :

Art, Education, Beauty
سلام، می خواهم در باره ادراک، و ذات فهمیدن صحبت کنم، و اینکه ماهیت فهمیدن چیست، چون فهمیدن هدف همه ماست، ما می‌خواهیم موضوعات را درک کنیم. ادعای من این است که ادراک مرتبط با توانایی تغییر دیدگاه شما است. اگر این را نداشته باشید. توانایی فهمیدن ندارید. این ادعای من است. و می‌خواهم بر ریاضیات تمرکز کنم. خیلی از ما ریاضیات را به معنی جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، کسر، درصد، هندسه، جبر -- از این چیز‌ها می‌شناسیم. اما در واقع، می‌خواهم در باره ذات ریاضیات هم صحبت کنم.
و ادعایم این است که ریاضیات مرتبط با الگو‌هاست. پشت من، یک الگوی زیبا می‌بینید، و این الگو در واقع از کشیدن دایره‌ها پدید آمده به شکلی خیلی خاص. تعریف معمول من از ریاضیات که هر روز استفاده می‌کنم این است: اول ازهمه، در مورد پیدا کردن الگو‌هاست. و منظورم از «الگو» ارتباط، ساختار، نوعی قاعده، نوعی قانون حاکم بر چیزی است که می‌بینیم. در مرحله دوم، به نمایش این الگو‌ها توسط یک زبان فکر می‌کنم. ما زبان‌ را می‌سازیم اگر آن را نداشته باشیم، و در ریاضیات، این امری اساسی است. همچنین در ارتباط با فرضیات است
و بازی با این فرضیات تا ببینیم که چه می‌شود. این کار را همینجا خواهیم کرد. و نهایتا، به چیز‌هایی جالب هم مربوط است. ریاضیات ما را قادر به انجام خیلی کار‌ها می‌کند. پس بگذارید نگاهی به این الگو‌ها بیاندازیم. اگر بخواهی کراواتی را گره بزنی، این الگوهاست. گره‌های کراوات اسم دارند. و می‌توانی ریاضیات گره کراوات را انجام دهی. این چپ- بیرون، راست-داخل، مرکز-بیرون بستن است. این چپ-داخل، راست-بیرون، چپ-داخل، مرکز-بیرون بستن است. این زبانی است که برای الگو‌های گره کراوات ساخته‌ایم، که این گره نیم ویندزور است.
این یک کتاب ریاضی در باره بستن بند کفش است در سطح دانشگاه، چون بند‌های کفش دارای الگو هستند. این کار از روش‌های متعددی انجام می‌شود. می توانیم تحلیلش کنیم. می‌توانیم برایش زبانی ایجاد کنیم. و نمایش‌های آن در سراسر ریاضیات است. این نماد سازی لایبنیتز در سال ۱۶۷۵ است. او زبانی را برای الگو‌های طبیعت اختراع کرد. وقتی چیزی را در هوا به بالا پرتاب می‌کنیم، پایین می‌افتد. چرا؟ مطمئن نیستیم، اما می توانیم این را با ریاضیات یک الگو نشان دهیم. این هم یک الگو است.
این هم زبانی است که اختراع شده. می‌توانید حدس بزنید برای چه؟ این درواقغ یک سیستم نشانه‌گذاری برای رقص است، رقص پا. و این امکان را برای طراح رقص ایجاد می‌کند تا کار‌هایی جالب و جدید انجام دهد، چون می‌تواند آن را نشان دهد. می‌خواهم به این فکر کنید که نمایش یک چیز واقعا چقدر جالب است. اینجا نوشته شده «ریاضیات». اما در واقع، اینها فقط نقطه هستند، درسته؟ پس این نقطه‌ها چطور کلمات را نمایش می‌دهند؟ می‌شود این کار را کرد. آنها کلمه «ریاضیات» را نشان می‌دهند، و این علائم هم نشان دهنده آن کلمه هستند که می‌توانیم بشنویم.
صدایش این طور است. ( صدای بوق ) به شکلی این صدا‌ها نشان دهنده کلمه و موضوع هستند. چطور این اتفاق می‌افتد؟ چیزی شگفت آور در باره نمایش چیز‌ها وجود دارد. و می‌خواهم در باره جادوی آن صحبت کنم وقتی واقعا چیزی را نشان می‌دهیم. اینجا خطهایی با عرض‌های متفاوت می‌بینید. اینها نشان دهنده عدد‌های یک کتاب خاص هستند. که واقعا این کتاب را توصیه می‌کنم، کتاب خیلی خوبی است. ( خنده حضار ) به من اعتماد کنید. خوب، بگذارید آزمایشی انجام دهیم، با چند خط صاف بازی کنیم.
این یک خط صاف است. یکی دیگر می‌کشیم. هر دفعه که حرکت می‌کنیم، یکی پایین و یکی در عرض حرکت می‌کنیم، و یک خط صاف جدید می‌کشیم، این کار را همینطور تکرار می کنیم، و به دنبال الگو می‌گردیم. یک الگو ایجاد می شود، الگوی زیبایی است. شکل یک منحنی است، نه؟ تنها از کشیدن خطهای صاف. حالا کمی دیدگاهم را عوض می‌کنم. می‌چرخانمش. به منحنی نگاه کنید. شبیه چیست؟ بخشی از یک دایره است؟ قسمتی از یک دایره نیست.
پس بررسی را ادامه می‌دهم و بدنبال الگوی اصلی می‌گردم. اگر کپی کنم و شکلی هنری بسازم چه؟ خوب، نه. اگر خطها را اینطوری ادامه دهم، و اینجا دنبال الگو بگردم. بگذارید خطها را اضافه کنیم. و این را داریم. و بگذارید از دور نگاه کنیم و دیدگاه دوباره را عوض کنیم. و می‌بینیم که واقعا چیزی که تنها از خطهای صاف بوجود آمده در واقع یک منحنی سهموی است. که با یک معادله ساده نشان داده می‌شود، و یک الگوی زیباست. پس این کاری است که ما می‌کنیم. الگو‌ها را پیدا می‌کنیم، و نمایش می‌دهیم.
و به نظر من یک تعریف روزمره خوب است. اما امروز می‌خواهم کمی عمیق‌تر شوم، وبه این فکر کنم که ماهیت این چیست. چطور ممکن می شود؟ چیزی هست که کمی عمیق‌تر است، و آن در ارتباط با توان شما در تغییر دیدگاه‌تان است. و ادعا می‌کنم که وقتی که دیدگاه‌تان را تغییر دهید، و اگر از نقطه نظر دیگری نگاه کنید، چیز جدیدی از آنچه توجه می‌کنید یا می بینید یا می‌شنوید، می‌فهمید. و به نظرم این واقعا کار مهمی است که ما همیشه انجام می دهیم. بگذارید به این معادله ساده نگاه کنیم، x + x = ۲ • x
این الگوی زیبایی است، و صحیح هم هست، چون ۵*۲=۵+۵ و همینطور. ما این را بار‌ها و بار‌ها دیده‌ایم، و اینطوری نشان داده‌ایم. اما فکر کنید: این یک معادله است. می‌گوید چیزی برابر چیز دیگری است، و این دو دیدگاه مختلف است. یک دیدگاه، جمع است. چیزهایی است که با هم جمع می‌کنید. در سمت دیگر، ضرب است، و اینها دو دیدگاه مختلفند. و تا جایی که بخواهی ادامه می‌دهم و می‌گویم همه معادله‌ها همینطورند، هر معادله ریاضی که از این علامت مساوی استفاده شود در واقع یک تشبیه است.
قیاسی بین دو چیز. شما چیزی را می‌بینید و از دو دیدگاه به آن نگاه می‌کنید، و آن را به شکل یک زبان نشان می دهید. به این معادله نگاه کنید. این یکی از زیباترین معادله‌هاست. بسادگی می‌گوید که، خوب، دو چیز، هر دو ۱- هستند. این چیز در سمت چپ ۱- است، و دیگری هم همینطور. و به نظرم این، یکی از بخش‌های اصلی ریاضیات است-- دیدگاه‌های متفاوتی را استفاده می‌کنی. بگذارید کمی بازی کنیم. یک عدد انتخاب کنیم. ما چهار سوم را می شناسیم. می شود ۱/۳۳۳، اما باید این سه نقطه را بگذاریم،
در غیر این صورت دقیقا چهار سوم نمی‌شود. اما این تنها در مبنای ۱۰ است. همان سیستم عددی که از ۱۰ رقم استفاده می‌کنیم. اگر آن را عوض کنیم و تنها از دو رقم استفاده کنیم، که سیستم دودویی نامیده می شود. اینطوری نوشته می شود. حالا در باره اعداد صحبت می‌کنیم. عدد چهار سوم. می‌توانیم آن را اینطور بنویسم، می‌توانیم مبنا را عوض کنیم، تعداد رقم‌ها را عوض کنیم، و به شکل دیگری بنویسیم. پس همه اینها همان عدد را نشان می‌دهند. حتی می توانیم خیلی ساده بنویسیم ۱/۳ یا ۱/۶.
همه‌اش بستکی به این دارد که چند رقم بخواهی استفاده کنی. شاید هم ساده‌اش کنیم و اینطور بنویسیم. من این یکی را دوست دارم، چون می‌گوید چهار تقسیم بر سه. و این عدد رابطه بین دو عدد را نشان می‌دهد. از یک طرف چهار و از سوی دیگر سه را داری. و می‌توانی این را به شکل‌های زیادی نمایش دهی. کاری که حالا می‌کنم دیدن این عدد از دیدگاه های مختلف است. بازی می‌کنم. با چطور نگاه کردن به چیز‌ها بازی می‌کنم، و کاملا عمدی این کار را می‌کنم. یک شبکه انتخاب می‌کنیم. چهار در سه، این خط معادل پنج است، همیشه. باید اینطور باشد. این یک الگوی زیباست.
چهار و سه و پنج. و این مستطیل، که ۴x۳ است، بار‌ها آن را دیده‌ای. صفحه معمول رایانه شماست. ۸۰۰x۶۰۰ یا ۱۶۰۰x۱۲۰۰ صفحه تلویزیون یا رایانه شماست. پس همه اینها نمایش‌های زیبایی هستند، اما می خواهم کمی جلوتر بروم و کمی بیشتر با این عدد بازی کنم. آیا دو دایره دیده‌ای، می خواهم اینطور بچرخانمشان. آن بالایی سمت چپ را ببین. کمی تندتر می‌رود، نه؟ معلوم است. در واقع دقیقا چهار- سوم سریعتر می رود. یعنی وقتی چهار دور می‌چرخد،
دیگری سه دور می‌چرخد. حالا بگذارید دو خط بکشیم، و این نقطه را جایی بکشیم که خطها به هم می رسند. این نقطه در اطراف بازی می‌کند. ( خنده حضار ) و این نقطه از آن عدد می‌آید. درسته؟ باید دنبالش کنیم. بگذارید دنبالش کنیم تا ببینیم چه می شود. ریاضیات یعنی همین. یعنی دیدن اتفاقات. و این از چهار-سوم ایجاد شده. دوست دارم بگویم که این شکل چهار-سوم است. خیلی بهتره-- ( تشویق) متشکرم! ( تشویق حضار )
چیز جدیدی نیست. مدت طولانی است که آن را می‌دانیم، اما -- ( خنده حضار ) اما ابن چهار- سوم است. بگذارید آزمایش دیگری بکنیم. بگذارید یک صدا رو انتخاب کنیم، مثل این: ( صدای بوق ) این یک نت لا کامل است، ۴۴۰ هرتز. آن را در دو ضرب می‌کنیم. و این بدست میاد. ( صدای بوق ) اگر با هم پخش بشوند، صدایش اینطوری است، یک اکتاوه، نه؟ می‌توانیم این بازی را انجام بدهیم. صدایی پخش کنیم. همان نت لا. و آن را در سه-دوم ضرب کنیم. ( صدای بوق)
ما به این یک پنجم کامل می‌گوییم. ( صدای بوق ) واقعا با هم خوش صدا هستند. حالا بگذارید این صدا را در چهار سوم ضرب کنیم. ( صدای بوق) چه شد؟ این صدا ایجاد شد. ( صدای بوق ) این یک چهارم کامل است. اگر اولی لا باشد، این ره است. با همدیگر این صدا را می‌دهند. ( صدای بوق ) این صدای چهار- سوم است. چکاری انجام می‌دهم؟ دیدگاهم را عوض می‌کنم. تنها به یک عدد نگاه می‌کنم از زاویه‌ای دیگر. با ریتم‌ها هم می‌توانم همینکار را بکنم، نه؟ می‌توانم ریتمی را انتخاب کنم و سه ضرب را یکبار بزنم ( صدای ضرب )
در یک دوره زمانی، و می‌توانم صدای دیگری را در همان مکان چهار بار اجرا کنم. ( صدای چک چک ) صدا های خوبی نیستند، ولی با هم گوش کنید. ( صدای ضرب و چک چک ) ( خنده حضار ) بله!، همینه. ( خنده حضار ) حتی می‌تونم کمی سنج هم اضافه کنم. ( ضرب و سنج ) این رو می‌شنوید؟ پس، این صدای چهار-سومه. دوباره بگویم، این مثل یک ریتمه. ( ضرب و زنگوله ) و می‌توانم این کار را لدامه بدهم و با این عدد بازی کنم.
چهار- سوم واقعا عددی عالی است. من چهار- سوم‌ها رو دوست دارم! ( خنده حضار ) واقعا - عددی است که ارزشش را نمی‌دانیم. اگر یک کره را بگیری و به حجم کره توجه کنید، در واقع معادل چهار- سوم یک استوانه خاص است. پس چهار- سوم در کره است. یعنی حجم استوانه است. پس، من چرا این کار‌ها را می‌کنم؟ خوب، می‌خواهم در باره اینکه معنی فهمیدن چیزی چیست صحبت کنم و اینکه منظورمان از فهمیدن یک چیز چه است. این هدف من است. و ادعای من این است که شما وقتی چیزی را می‌فهمید که توانایی تصور آن را از زوایای مختلف داشته باشید. بیایید به این حرف نگاه کنیم. این« آر» زیباست، نه؟
از کجا می‌دانی؟ خوب، در واقع شما «آر» های متعددی را دیده‌ای و آن را تعمیم داده‌ای و همه آنها راخلاصه‌ا کرده‌ای و یک الگو پیدا شده. پس می‌دانی که این یک «آر» است. پس هدف من اینجا گفتن چیزی درباره این است که چگونه فهم و تغییر دیدگاه به هم مرتبطند. من یک معلم و مدرسم، و واقعا می‌توانم از این برای آموختن چیزی استفاده کنم. چون وقتی برای شخص دیگری داستانی می‌گویم، یک استعاره، یک تشبیه، اگر داستانی را از زاویه دیگری بگویم، فهمیدنش را ممکن می‌کند. من آن را قابل فهم می‌کنم،
چون باید آن را به تمام چیز‌هایی که می‌بینی و می‌شنوی تعمیم دهی، و اگر دیدگاه دیگری به شما بدهم، برایتان ساده‌تر میشود. بگذارید دوباره آزمایش ساده‌ای بکنیم. این چهار و سه است. اینها چهار مثلث اند. پس به شکلی، این هم چهار سوم است. بگذارید آنها را به هم متصل کنیم. حالا می‌خواهیم یک بازی انجام دهیم؛ آن را به سمت بالا تا می‌کنیم در ساختاری سه بعدی. عاشق این کارم. این یک هرم منتظم است. حالا دوتا از آنها را روی هم قرار می‌دهیم. که به این هشت وجهی می‌گویند. که یکی از پنج جسم افلاطونی است.
حالا در واقع می‌توانیم دیدگاهمان را عوض کنیم، چون می‌توانیم حول همه محور‌ها بچرخانیمش و از زاویه‌های مختلف به آن نگاه کنیم. و می‌توانم محور را تغییر دهم. و می‌توانم از منظر دیگری به آن نگاه کنم، و این همان چیز است که، اما کمی به نظر عوض شده. یک بار دیگر هم می‌توانم این کار را بکنم. هر دفعه که این کار را می‌کنم، چیز جدیدی ایجاد می‌شود، پس در واقع چیز‌های جدیدی از این شئ یاد می‌گیرم وقتی که دیدگاهم را عوض می‌کنم. از این می‌توانم به عنوان ابزار خلق یادگیری استفاده کنم. می‌توانم دوتا از این‌ها را اینطور روی هم قرار دهم
و ببینم که چه می‌شود. به نظر می‌رسد که کمی شبیه هشت وجهی شده. نگاهی به آن می‌کنم و اینطور می‌چرخانمش. چه شد؟ خوب، اگر دوتا از اینها را بگیری، و روی هم قرار دهی و بچرخانی، این دوباره هشت وجهی شماست، ساختار زیبایی داره. اگر روی زمین بازش کنی، این هشت وجهی است. این نمودار ساختاری یک هشت وجهی است. و می‌توانم این کار را ادامه دهم. می‌توانی سه دایره عالی دور هشت وجهی بکشی، و بچرخانی، پس در واقع این سه دایره خوب به هشت وجهی مرتبطند.
و اگر پمپ باد دوچرخه بردارم و آن را باد کنم، می‌بینی که این هم کمی شبیه هشت وجهی است. متوجه می شوید که چکار می‌کنم؟ من هر بار دیدگاهم را تغییر می‌دهم. حالا بیایید یک قدم به عقب بر گردیم-- و این واقعا یک تشبیه است، قدمی به عقب -- و ببینیم که چه کرده‌ایم. من با تشبیهات بازی می‌کنم. من با دیدگاه‌ها و مشابهت‌ها بازی می‌کنم. من یک داستان را از راههای مختلف می‌گویم. من داسنان می‌گویم. من روایت می‌کنم؛ روایتهای مختلفی می‌کنم. و فکر می‌کنم همه این چیز‌ها فهمیدن را ممکن می‌کند.
به نظرم این در واقع چکیده فهمیدن چیزی است. واقعا به آن اعتقاد دارم. پس این موضوع مربوط به تغییر دیدگاه -- قطعا برای انسانها امری بنیادی است. بگذارید با کره زمین بازی کنیم. بگذارید یک اقیانوس را بزرگنمایی کنیم، و به اقیانوس نگاه کنیم. با هرچیزی می‌شود این کار را کرد. می‌توانیم به اقیانوس از بالا به نزدیکی نگاه کرد. می‌توانیم به موجها نگاه کنیم. می‌توانیم به ساحل برویم. می‌توانیم اقیانوس را از زاویه دیگری ببینیم. هر بار که این کار را می‌کنیم، کمی بیشتر از اقیانوس می فهمیم. اگر به ساحل برویم، می‌توانیم به گونه‌ای بویش کنیم، نه؟
می‌توانیم صدای امواج را بشنویم. می‌توانیم نمک را با زبانمان حس کنیم. پس همه اینها دیدگاه‌های متفاوتی هستند. و این بهترین آنهاست. می‌توانیم داخل شویم. می‌توانیم آب را از درون ببینیم. و این یعنی چه؟ این در ریاضیات و رایانه قطعا امری اساسی است. که بتوانی ساختاری را از درون ببینی، چون واقعا چیزی از آن یاد می‌گیری. به شکلی ماهیت آن چیز است. پس وقتی این کار را می‌کنیم، و این مسیر را می‌رویم به داخل اقیانوس، از تصورمان استفاده می‌کنیم.
. معتقدم این یک مرحله عمیق‌تر است، که واقعا نیاز به تغییر نقطه نظر شما دارد. می‌توانیم یک بازی کوچک انجام دهیم. تصور کن که آنجا نشسته‌ای. تصور کن که این بالایی، و اینجا نشسته‌ای. می‌توانی خود را از بیرون ببینی. این واقعا چیز عجیبی است. تو دیدگاهت را عوض می‌کنی. و از تخیلت استفاده می‌کنی، و خودت را از بیرون می‌بینی. این نیازمند تخیل است. ریاضیات و رایانه خلاقانه ترین اشکال هنر هستند. و این موضوع درباره تغییر دیدگاه باید کمی برایت آشنا باشد،
چون کاری است که هر روز می‌کنیم. و به آن همدلی می‌گوییم. وقتی به دنیا از نقطه نظر شما نگاه می‌کنم، با شما همدل می‌شوم. اگر واقعا، و حقیقتا بفهمم که دنیا از دیدگاه شما چه شکلی است، من همدلم. که این نیازمند تخیل است، و اینگونه است که فهم ایجاد می‌شود. و تمام اینها مربوط به ریاضیات است و تماما مرتبط با علوم رایانه، و واقعا ارتباطی عمیق میان همدلی و این علوم وجود دارد. پس جمع بندی من این است: مرتبط با توانایی شما در تغییر دیدگاه است. پس توصیه من به شما این است: تلاش کنید تا دیدگاه‌تان را تغییر دهید.
می‌توانی ریاضیات بخوانی. این روشی عالی برای آموزش مغزتان است. تغییر دیدگاه شما ذهنتنان را منعطفتر می‌کند. شما را برای چیز‌های جدید باز می‌کند، و شما را قادر به درک مسائل می‌کند. و تشبیه دیگری بکار می‌برم: ذهنی مانند آب داشته باش. خیلی عالی است. متشکرم. (
Hi. I want to talk about understanding, and the nature of understanding, and what the essence of understanding is, because understanding is something we aim for, everyone. We want to understand things. My claim is that understanding has to do with the ability to change your perspective. If you don't have that, you don't have understanding. So that is my claim. And I want to focus on mathematics. Many of us think of mathematics as addition, subtraction, multiplication, division, fractions, percent, geometry, algebra -- all that stuff.
But actually, I want to talk about the essence of mathematics as well. And my claim is that mathematics has to do with patterns. Behind me, you see a beautiful pattern, and this pattern actually emerges just from drawing circles in a very particular way. So my day-to-day definition of mathematics that I use every day is the following: First of all, it's about finding patterns. And by "pattern," I mean a connection, a structure, some regularity, some rules that govern what we see. Second of all, I think it is about representing these patterns with a language.
We make up language if we don't have it, and in mathematics, this is essential. It's also about making assumptions and playing around with these assumptions and just seeing what happens. We're going to do that very soon. And finally, it's about doing cool stuff. Mathematics enables us to do so many things. So let's have a look at these patterns. If you want to tie a tie knot, there are patterns. Tie knots have names. And you can also do the mathematics of tie knots. This is a left-out, right-in, center-out and tie.
This is a left-in, right-out, left-in, center-out and tie. This is a language we made up for the patterns of tie knots, and a half-Windsor is all that. This is a mathematics book about tying shoelaces at the university level, because there are patterns in shoelaces. You can do it in so many different ways. We can analyze it. We can make up languages for it. And representations are all over mathematics. This is Leibniz's notation from 1675. He invented a language for patterns in nature. When we throw something up in the air,
it falls down. Why? We're not sure, but we can represent this with mathematics in a pattern. This is also a pattern. This is also an invented language. Can you guess for what? It is actually a notation system for dancing, for tap dancing. That enables him as a choreographer to do cool stuff, to do new things, because he has represented it. I want you to think about how amazing representing something actually is. Here it says the word "mathematics." But actually, they're just dots, right? So how in the world can these dots represent the word?
Well, they do. They represent the word "mathematics," and these symbols also represent that word and this we can listen to. It sounds like this. (Beeps) Somehow these sounds represent the word and the concept. How does this happen? There's something amazing going on about representing stuff. So I want to talk about that magic that happens when we actually represent something. Here you see just lines with different widths. They stand for numbers for a particular book.
And I can actually recommend this book, it's a very nice book. (Laughter) Just trust me. OK, so let's just do an experiment, just to play around with some straight lines. This is a straight line. Let's make another one. So every time we move, we move one down and one across, and we draw a new straight line, right? We do this over and over and over, and we look for patterns. So this pattern emerges, and it's a rather nice pattern. It looks like a curve, right?
Just from drawing simple, straight lines. Now I can change my perspective a little bit. I can rotate it. Have a look at the curve. What does it look like? Is it a part of a circle? It's actually not a part of a circle. So I have to continue my investigation and look for the true pattern. Perhaps if I copy it and make some art? Well, no. Perhaps I should extend the lines like this, and look for the pattern there. Let's make more lines. We do this.
And then let's zoom out and change our perspective again. Then we can actually see that what started out as just straight lines is actually a curve called a parabola. This is represented by a simple equation, and it's a beautiful pattern. So this is the stuff that we do. We find patterns, and we represent them. And I think this is a nice day-to-day definition. But today I want to go a little bit deeper, and think about what the nature of this is. What makes it possible? There's one thing that's a little bit deeper,
and that has to do with the ability to change your perspective. And I claim that when you change your perspective, and if you take another point of view, you learn something new about what you are watching or looking at or hearing. And I think this is a really important thing that we do all the time. So let's just look at this simple equation, x + x = 2 • x. This is a very nice pattern, and it's true, because 5 + 5 = 2 • 5, etc. We've seen this over and over, and we represent it like this. But think about it: this is an equation.
It says that something is equal to something else, and that's two different perspectives. One perspective is, it's a sum. It's something you plus together. On the other hand, it's a multiplication, and those are two different perspectives. And I would go as far as to say that every equation is like this, every mathematical equation where you use that equality sign is actually a metaphor. It's an analogy between two things. You're just viewing something and taking two different points of view, and you're expressing that in a language.
Have a look at this equation. This is one of the most beautiful equations. It simply says that, well, two things, they're both -1. This thing on the left-hand side is -1, and the other one is. And that, I think, is one of the essential parts of mathematics -- you take different points of view. So let's just play around. Let's take a number. We know four-thirds. We know what four-thirds is. It's 1.333, but we have to have those three dots, otherwise it's not exactly four-thirds. But this is only in base 10.
You know, the number system, we use 10 digits. If we change that around and only use two digits, that's called the binary system. It's written like this. So we're now talking about the number. The number is four-thirds. We can write it like this, and we can change the base, change the number of digits, and we can write it differently. So these are all representations of the same number. We can even write it simply, like 1.3 or 1.6. It all depends on how many digits you have. Or perhaps we just simplify and write it like this.
I like this one, because this says four divided by three. And this number expresses a relation between two numbers. You have four on the one hand and three on the other. And you can visualize this in many ways. What I'm doing now is viewing that number from different perspectives. I'm playing around. I'm playing around with how we view something, and I'm doing it very deliberately. We can take a grid. If it's four across and three up, this line equals five, always. It has to be like this. This is a beautiful pattern. Four and three and five.
And this rectangle, which is 4 x 3, you've seen a lot of times. This is your average computer screen. 800 x 600 or 1,600 x 1,200 is a television or a computer screen. So these are all nice representations, but I want to go a little bit further and just play more with this number. Here you see two circles. I'm going to rotate them like this. Observe the upper-left one. It goes a little bit faster, right? You can see this. It actually goes exactly four-thirds as fast. That means that when it goes around four times,
the other one goes around three times. Now let's make two lines, and draw this dot where the lines meet. We get this dot dancing around. (Laughter) And this dot comes from that number. Right? Now we should trace it. Let's trace it and see what happens. This is what mathematics is all about. It's about seeing what happens. And this emerges from four-thirds. I like to say that this is the image of four-thirds. It's much nicer -- (Cheers) Thank you! (Applause)
This is not new. This has been known for a long time, but -- (Laughter) But this is four-thirds. Let's do another experiment. Let's now take a sound, this sound: (Beep) This is a perfect A, 440Hz. Let's multiply it by two. We get this sound. (Beep) When we play them together, it sounds like this. This is an octave, right? We can do this game. We can play a sound, play the same A. We can multiply it by three-halves. (Beep)
This is what we call a perfect fifth. (Beep) They sound really nice together. Let's multiply this sound by four-thirds. (Beep) What happens? You get this sound. (Beep) This is the perfect fourth. If the first one is an A, this is a D. They sound like this together. (Beeps) This is the sound of four-thirds. What I'm doing now, I'm changing my perspective. I'm just viewing a number from another perspective. I can even do this with rhythms, right? I can take a rhythm and play three beats at one time (Drumbeats)
in a period of time, and I can play another sound four times in that same space. (Clanking sounds) Sounds kind of boring, but listen to them together. (Drumbeats and clanking sounds) (Laughter) Hey! So. (Laughter) I can even make a little hi-hat. (Drumbeats and cymbals) Can you hear this? So, this is the sound of four-thirds. Again, this is as a rhythm. (Drumbeats and cowbell)
And I can keep doing this and play games with this number. Four-thirds is a really great number. I love four-thirds! (Laughter) Truly -- it's an undervalued number. So if you take a sphere and look at the volume of the sphere, it's actually four-thirds of some particular cylinder. So four-thirds is in the sphere. It's the volume of the sphere. OK, so why am I doing all this? Well, I want to talk about what it means to understand something and what we mean by understanding something. That's my aim here. And my claim is that you understand something
if you have the ability to view it from different perspectives. Let's look at this letter. It's a beautiful R, right? How do you know that? Well, as a matter of fact, you've seen a bunch of R's, and you've generalized and abstracted all of these and found a pattern. So you know that this is an R. So what I'm aiming for here is saying something about how understanding and changing your perspective are linked. And I'm a teacher and a lecturer, and I can actually use this to teach something, because when I give someone else another story, a metaphor, an analogy,
if I tell a story from a different point of view, I enable understanding. I make understanding possible, because you have to generalize over everything you see and hear, and if I give you another perspective, that will become easier for you. Let's do a simple example again. This is four and three. This is four triangles. So this is also four-thirds, in a way. Let's just join them together. Now we're going to play a game; we're going to fold it up into a three-dimensional structure. I love this. This is a square pyramid.
And let's just take two of them and put them together. So this is what is called an octahedron. It's one of the five platonic solids. Now we can quite literally change our perspective, because we can rotate it around all of the axes and view it from different perspectives. And I can change the axis, and then I can view it from another point of view, but it's the same thing, but it looks a little different. I can do it even one more time. Every time I do this, something else appears, so I'm actually learning more about the object
when I change my perspective. I can use this as a tool for creating understanding. I can take two of these and put them together like this and see what happens. And it looks a little bit like the octahedron. Have a look at it if I spin it around like this. What happens? Well, if you take two of these, join them together and spin it around, there's your octahedron again, a beautiful structure. If you lay it out flat on the floor, this is the octahedron. This is the graph structure of an octahedron.
And I can continue doing this. You can draw three great circles around the octahedron, and you rotate around, so actually three great circles is related to the octahedron. And if I take a bicycle pump and just pump it up, you can see that this is also a little bit like the octahedron. Do you see what I'm doing here? I am changing the perspective every time. So let's now take a step back -- and that's actually a metaphor, stepping back -- and have a look at what we're doing. I'm playing around with metaphors. I'm playing around with perspectives and analogies.
I'm telling one story in different ways. I'm telling stories. I'm making a narrative; I'm making several narratives. And I think all of these things make understanding possible. I think this actually is the essence of understanding something. I truly believe this. So this thing about changing your perspective -- it's absolutely fundamental for humans. Let's play around with the Earth. Let's zoom into the ocean, have a look at the ocean. We can do this with anything. We can take the ocean and view it up close. We can look at the waves.
We can go to the beach. We can view the ocean from another perspective. Every time we do this, we learn a little bit more about the ocean. If we go to the shore, we can kind of smell it, right? We can hear the sound of the waves. We can feel salt on our tongues. So all of these are different perspectives. And this is the best one. We can go into the water. We can see the water from the inside. And you know what? This is absolutely essential in mathematics and computer science. If you're able to view a structure from the inside,
then you really learn something about it. That's somehow the essence of something. So when we do this, and we've taken this journey into the ocean, we use our imagination. And I think this is one level deeper, and it's actually a requirement for changing your perspective. We can do a little game. You can imagine that you're sitting there. You can imagine that you're up here, and that you're sitting here. You can view yourselves from the outside. That's really a strange thing. You're changing your perspective.
You're using your imagination, and you're viewing yourself from the outside. That requires imagination. Mathematics and computer science are the most imaginative art forms ever. And this thing about changing perspectives should sound a little bit familiar to you, because we do it every day. And then it's called empathy. When I view the world from your perspective, I have empathy with you. If I really, truly understand what the world looks like from your perspective, I am empathetic.
That requires imagination. And that is how we obtain understanding. And this is all over mathematics and this is all over computer science, and there's a really deep connection between empathy and these sciences. So my conclusion is the following: understanding something really deeply has to do with the ability to change your perspective. So my advice to you is: try to change your perspective. You can study mathematics. It's a wonderful way to train your brain. Changing your perspective makes your mind more flexible. It makes you open to new things,
and it makes you able to understand things. And to use yet another metaphor: have a mind like water. That's nice. Thank you. (Applause)